Sistemas de ecuaciones lineales 3×3
Resuelve problemas con tres incógnitas usando determinantes (regla de Cramer), reducción, sustitución e igualación… y míralos en 3D.
Un sistema 3×3 aparece siempre que hay tres cantidades desconocidas y tres condiciones que las relacionan: el precio de tres productos a partir de tres compras distintas, cuántos jornaleros de cada tipo trabajaron en una cosecha, o cómo repartir un presupuesto entre tres proyectos. Aquí aprendes la teoría, practicas con 36 problemas argumentados, juegas con retos y ves cada ecuación como un plano en el espacio.
🏅Tu progreso
✦¿Qué puedes hacer aquí?
- Girar los planos en 3D y ver por qué un sistema tiene una solución, ninguna o infinitas.
- Resolver cualquier sistema 3×3 por igualación, sustitución, reducción o determinantes, con cada operación explicada y la comprobación.
- Plantear problemas: escribes las tres ecuaciones y la app te dice cuál está bien y cuál no.
- Competir contigo mismo en los retos y ganar puntos (XP) y logros.
- Trabajar sin internet y compartir la app para el computador o el celular.
Adaptación a sistemas 3×3 de la app «Ecuaciones 2×2» (teoría basada en la guía del MEN, Postprimaria Rural).
Teoría
Sistemas de ecuaciones lineales 3×3: de la idea geométrica al cálculo con determinantes.
1¿Qué es un sistema 3×3?
Es un conjunto de tres ecuaciones lineales (de primer grado) con tres incógnitas, casi siempre x, y y z. Se llama «3×3» porque tiene 3 ecuaciones y 3 incógnitas. Su forma general es:
Resolver el sistema es hallar la terna ordenada (x, y, z) que hace verdaderas las tres ecuaciones a la vez. Comprueba tú mismo si una terna es solución:
🧪 ¿Es solución? Prueba una terna
2El sistema en el espacio: tres planos
En un sistema 2×2 cada ecuación era una recta. Con tres incógnitas, cada ecuación a·x + b·y + c·z = d es un plano en el espacio. Resolver el sistema es buscar los puntos donde los tres planos se cortan. Elige un caso y gira el dibujo con el mouse o el dedo:
3El determinante 3×3 y la regla de Sarrus
El determinante Δ del sistema se calcula con los 9 coeficientes de x, y, z. La regla de Sarrus lo hace fácil: se repiten las dos primeras columnas a la derecha, se multiplica en diagonal y:
- las 3 diagonales ↘ (de arriba-izquierda a abajo-derecha) se suman;
- las 3 diagonales ↙ (de arriba-derecha a abajo-izquierda) se restan.
Pero Sarrus no es la única manera. Existen cinco formas de calcular el mismo determinante, y todas dan el mismo valor:
- Sarrus repitiendo 2 columnas a la derecha (la de arriba).
- Sarrus repitiendo 2 filas debajo: mismas seis multiplicaciones, dibujadas hacia abajo.
- Cofactores: se desarrolla por una fila o columna (conviene la que tenga más ceros); cada elemento × su signo × su menor 2×2.
- Triangulación: con operaciones entre filas se hacen ceros bajo la diagonal; Δ = producto de la diagonal (cuidado con el signo si intercambias filas).
- Fórmula de 6 términos: tres productos suman y tres restan, sin dibujo.
⚙️ Laboratorio de determinantes — elige un método y escribe tu propia matriz
En el Resolutor y en las soluciones de los ejercicios puedes elegir con cuál de los cinco métodos se calculan Δ, Δx, Δy y Δz.
4La regla de Cramer para 3×3
Si Δ ≠ 0, cada incógnita es un cociente de determinantes. Δx, Δy y Δz se calculan igual que Δ, pero cambiando la columna de la incógnita por la de los términos independientes d₁, d₂, d₃:
🔢 Cramer en vivo — mira cuál columna cambia
Si Δ = 0 no se puede dividir: el sistema no tiene solución única.
5Los cuatro métodos de solución
Los cuatro llevan a la misma solución. Los tres primeros siguen una idea: convertir el sistema 3×3 en uno 2×2 (y luego en una ecuación con una incógnita). El cuarto usa determinantes.
Igualación
Despejar la misma incógnita en las tres ecuaciones e igualar.
- Despeja la misma incógnita (p. ej. x) en las tres ecuaciones.
- Iguala la 1.ª con la 2.ª y la 1.ª con la 3.ª: quedan dos ecuaciones con dos incógnitas.
- Resuelve ese sistema 2×2.
- Reemplaza en un despeje para hallar la tercera incógnita.
- Escribe la terna (x, y, z) y compruébala.
👍 Útil si la misma letra tiene coeficiente distinto de 0 (y fácil de despejar) en las tres.
Sustitución
Despejar una incógnita y reemplazarla en las otras dos ecuaciones.
- Despeja la incógnita más fácil (coeficiente 1) en una ecuación.
- Sustituye esa expresión en las otras dos: queda un sistema 2×2.
- Resuelve el sistema 2×2.
- Reemplaza los valores en el despeje inicial.
- Escribe la terna (x, y, z) y compruébala.
👍 Ideal cuando alguna incógnita tiene coeficiente 1 o ya está casi despejada.
Reducción (eliminación)
Multiplicar y sumar ecuaciones para ir eliminando incógnitas.
- Elimina una incógnita entre dos pares de ecuaciones (multiplica y suma): quedan 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
- Elimina otra incógnita entre esas dos: queda una ecuación con una incógnita.
- Resuélvela.
- Sube sustituyendo hacia atrás para hallar las otras dos.
- Escribe la terna y compruébala.
👍 Funciona siempre y además detecta si el sistema no tiene solución o tiene infinitas.
Determinantes (regla de Cramer)
Calcular cuatro determinantes (con Sarrus, cofactores o triangulación).
- Calcula Δ (determinante del sistema).
- Calcula Δx, Δy y Δz cambiando una columna por d₁, d₂, d₃.
- Divide: x = Δx/Δ, y = Δy/Δ, z = Δz/Δ (con Δ ≠ 0).
👍 Ordenado y sin despejes; Δ ≠ 0 confirma a la vez que la solución es única.
6¿Cuál método me conviene?
Mira cómo está escrito tu sistema y elige. Cada botón carga un ejemplo en el Resolutor:
7Cuatro fases para resolver un problema
Cuando el sistema viene de un enunciado (Guía 3 del MEN), sigue estas fases. En los Ejercicios las practicas una por una:
!Errores comunes
- En Sarrus: olvidar que las diagonales ↙ se restan, o equivocarse con los signos de los productos.
- Cambiar la columna equivocada en Δx, Δy o Δz (en cada uno cambia una sola columna).
- Amplificar a medias: si multiplicas una ecuación por un número, multiplica todos sus términos, incluido el independiente.
- Eliminar con ecuaciones distintas: para eliminar una incógnita hay que usar la misma incógnita en los dos pares de ecuaciones.
- No comprobar: reemplaza siempre la terna en las tres ecuaciones originales.
- Δ = 0 no significa «sin solución»: puede haber infinitas. Hay que reducir para saberlo.
Resolutor paso a paso
Escribe los coeficientes: la app clasifica el sistema mientras escribes. Elige un método para ver la solución completa con comprobación.
✎Ingresa el sistema
Usa números enteros o decimales (si usas decimales, la app los convierte a enteros). Para un coeficiente negativo escribe, por ejemplo, −4. Si una incógnita no aparece, escribe 0.
🧊Los tres planos en 3D
Cada ecuación es un plano: Plano 1, Plano 2 y Plano 3. La solución es el punto donde se cortan. Se actualiza mientras escribes.
Banco de ejercicios
36 problemas argumentados en tres niveles. Sigue las fases: plantea las tres ecuaciones, resuelve, comprueba y compara con la solución explicada.
Retos
Entrena rápido las tres habilidades clave: calcular determinantes, reconocer el tipo de sistema y aplicar Cramer completo. Cada acierto suma XP.
Test
34 preguntas de selección múltiple con una sola respuesta correcta. Responde y mira al instante si acertaste y por qué. Las opciones cambian de orden cada vez.