📐 Potenciación en ℝ
Aprende a manejar las propiedades de la potenciación en los números reales, aplica la notación científica y domina cada procedimiento paso a paso.
Teoría completa
Definición, base, exponente, potencia. Casos especiales con números reales.
7 Propiedades
Producto, cociente, potencia de potencia, exponente negativo y más.
Ejemplos resueltos
10 ejemplos del libro Santillana 9°, resueltos paso a paso.
Calculadora
Calcula cualquier potencia y obtén el procedimiento detallado.
¿Por qué es importante la potenciación?
La potenciación permite expresar números muy grandes, como la distancia del Sol a la Tierra, o muy pequeños, como la carga eléctrica de un electrón. Con ella se formulan las leyes de Kepler, la escala de Richter para terremotos, y modelos en biología y química.
≈ 1,5 × 10¹¹ metros
Magnitud 9 → 2 × 10²⁵ ergios
≈ 1 × 10⁻⁷ mm
≈ 2 × 10⁵² kg
Definición
La potenciación es la operación que permite expresar, en forma simplificada, la multiplicación de varios factores iguales.
\[a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ factores}}\] \[a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{con } a \neq 0\] Si \(n = 0,\ a \neq 0\): \(a^0 = 1\)
Por ejemplo: −7 × −7 = 49 se expresa como (−7)² = 49. Aquí, −7 es la base, 2 es el exponente y 49 es la potencia.
Casos según el exponente
| Caso | Condición | Resultado | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Expo. entero positivo | n ∈ ℤ⁺, a ∈ ℝ | Producto de n factores iguales | (−12)³ = −1728 |
| Expo. negativo | a ≠ 0 | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | (1/2)⁻⁴ = 16 |
| Expo. cero | a ≠ 0 | a⁰ = 1 | 5⁰ = 1 |
| Base negativa, expo par | n par | Resultado positivo | (−3)⁴ = 81 |
| Base negativa, expo impar | n impar | Resultado negativo | (−5)³ = −125 |
Historia: La indeterminación de 0⁰
Antes de la creación del análisis matemático era común aceptar que 0⁰ = 1. Sin embargo, en 1821, el matemático francés Augustin Cauchy (1789–1857) estableció que 0⁰ se encuentra entre las formas indeterminadas. En la actualidad, 0⁰ se considera indefinida, a menos que el contexto le asigne un valor.
Se deja la misma base y se suman los exponentes.
Se deja la misma base y se restan los exponentes.
Se deja la base y se multiplican los exponentes.
El exponente se distribuye a cada factor del producto.
El exponente se distribuye al numerador y al denominador.
Una potencia con exponente negativo es igual al inverso multiplicativo de la base elevada al exponente positivo.
Tabla resumen
| Propiedad | Fórmula | Ejemplo numérico |
|---|---|---|
| Producto igual base | \(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\) | \(2^3 \cdot 2^5 = 2^8 = 256\) |
| Cociente igual base | \(\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\) | \(\dfrac{5^7}{5^5} = 5^2 = 25\) |
| Potencia de potencia | \((a^n)^m = a^{nm}\) | \((3^4)^2 = 3^8 = 6561\) |
| Expo. negativo | \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) | \(2^{-3} = \dfrac{1}{8}\) |
| Expo. cero | \(a^0 = 1\) | \(100^0 = 1\) |
| Potencia producto | \((ab)^n = a^n b^n\) | \((2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4\) |
| Potencia cociente | \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\) | \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}\) |
Problema: Calcula (−12)³ → Exponente entero positivo
Problema: Calcula (1/2)⁻⁴ → Exponente negativo
Problema: Calcula (2⁴·2⁷ / 2⁶)⁻³
Problema: Simplifica (3²)(4)(5³) / [(2⁻²)(−25)]