Sistemas de ecuaciones lineales 2×2

Aprende, resuelve y evalúa: teoría del Ministerio de Educación (Guía Postprimaria Rural, grado 9), resolutor paso a paso y práctica por niveles.

Un sistema 2×2 aparece siempre que hay dos cantidades desconocidas y dos condiciones que las relacionan: el precio del kilo de yuca y de papa en la galería, cuántas gallinas y cuántos cerdos hay en el corral, o cómo repartir los acres de una finca entre dos cultivos. Esta aplicación te acompaña con la teoría de los cuatro métodos, un resolutor que muestra cada paso y una evaluación para comprobar lo aprendido.

📘
TeoríaDefinición, clasificación gráfica, los 4 métodos y la regla de Cramer.
🎬
VideosUn video explicativo por cada método, con buscador y resumen de los pasos.
🧮
ResolutorEscribe un sistema y observa la solución paso a paso, con gráfica y comprobación.
✏️
Ejercicios60 ejercicios en 3 niveles con problemas del campo y solución explicada.
🎯
TestRepositorio de 30 preguntas con respuesta y explicación a la vista; ideal para repasar o imprimir.

✦¿Qué puedes hacer aquí?

  • Resolver cualquier sistema por igualación, sustitución, reducción o determinantes, con cada operación explicada y la comprobación de la solución.
  • Ver un video de cada método y buscarlo por su nombre o por lo que quieres hacer («eliminar», «despejar», «matriz»).
  • Ver la gráfica de las dos rectas y su punto de intersección.
  • Practicar por niveles (Fácil, Medio, Difícil) y autoevaluarte con el test.
  • Trabajar sin internet y compartir la app para usarla en el computador o el celular.
💡 Ruta sugerida: revisa la Teoría, mira el Video del método que te cueste, prueba ejemplos en el Resolutor, practica en Ejercicios desde el nivel Fácil y termina con el Test.
Material educativo · · Matemáticas grado 9
Teoría basada en «Matemáticas — Grado 9, Postprimaria Rural» (Ministerio de Educación Nacional).

Teoría

Sistemas de ecuaciones lineales 2×2 — según la guía del MEN (grado 9).

1¿Qué es un sistema 2×2?

Es un conjunto de dos ecuaciones lineales (de primer grado) con dos incógnitas, casi siempre x e y. Se llama «2×2» porque tiene 2 ecuaciones y 2 incógnitas. Su forma general es:

{
a₁x + b₁y=c₁
a₂x + b₂y=c₂

Resolver el sistema es hallar los valores de x e y que hacen verdaderas las dos ecuaciones a la vez. Gráficamente, cada ecuación es una recta, y la solución es el par ordenado común a ambas: su punto de intersección.

2Clasificación según la gráfica

Al graficar el sistema pueden darse tres casos (Guía 2 del MEN):

Una solución Rectas no paralelas: se cortan en un punto. Sistema consistente.
Sin solución Rectas paralelas: nunca se cortan. Sistema inconsistente.
Infinitas soluciones Rectas idénticas (la misma): todo punto es solución. Sistema dependiente.
🔑 Regla práctica: el sistema tiene una única solución cuando el determinante a₁·b₂ − a₂·b₁ ≠ 0. Si es 0, será inconsistente (paralelas) o dependiente (idénticas).

3Los cuatro métodos de solución

Los cuatro llevan a la misma solución: se elige el más cómodo según cómo esté escrito el sistema. Cada uno tiene su video explicativo 🎬.

1

Igualación

Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones.

  1. Despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones.
  2. Iguala las expresiones: queda una ecuación con una incógnita.
  3. Resuelve esa ecuación.
  4. Sustituye el valor hallado en uno de los despejes.
  5. Los dos valores son la solución del sistema.

👍 Útil cuando es fácil despejar la misma letra en ambas.

2

Sustitución

Despejar una incógnita en una ecuación y reemplazarla en la otra.

  1. Despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
  2. Sustituye esa expresión en la otra ecuación.
  3. Resuelve la ecuación de una sola incógnita.
  4. Reemplaza el valor en la ecuación donde despejaste.
  5. Los dos valores son la solución.

👍 Indicado cuando una incógnita ya está (casi) despejada.

3

Reducción (eliminación)

Amplificar para que una incógnita tenga coeficientes opuestos y sumar.

  1. Multiplica las ecuaciones por números convenientes.
  2. Súmalas: desaparece una incógnita.
  3. Resuelve la ecuación resultante.
  4. Sustituye el valor en una ecuación inicial.
  5. Los dos valores son la solución.

👍 Muy práctico con coeficientes enteros.

4

Determinantes (regla de Cramer)

Resolver usando el determinante de la matriz de coeficientes.

  1. Calcula |A| = a₁·b₂ − a₂·b₁ (determinante del sistema).
  2. Calcula |A|ₓ y |A|ᵧ cambiando la columna respectiva por c₁, c₂.
  3. Entonces x = |A|ₓ / |A|  y  y = |A|ᵧ / |A| (con |A| ≠ 0).

👍 Ordenado y rápido; además |A| ≠ 0 confirma solución única.

4Determinantes y regla de Cramer

El determinante de una matriz 2×2 se evalúa multiplicando en diagonal:

|A| = a₁   b₁a₂   b₂ = a₁·b₂ − a₂·b₁

Para el sistema a₁x + b₁y = c₁ ; a₂x + b₂y = c₂, la regla de Cramer da:

|A|ₓ = c₁·b₂ − c₂·b₁   ·   |A|ᵧ = a₁·c₂ − a₂·c₁

x = |A|ₓ|A|     y = |A|ᵧ|A|

Guía 4 del MEN — «Determinantes 2×2».

5Cuatro fases para resolver un problema

Cuando el sistema viene de un enunciado (Guía 3 del MEN), conviene seguir estas fases:

1
ComprensiónLeer con atención e identificar los datos y las incógnitas.
2
PlanteamientoRelacionar los datos con las incógnitas y escribir las dos ecuaciones.
3
ResoluciónAplicar un método para obtener el valor numérico de las incógnitas.
4
ComprobaciónVerificar que la solución cumpla las condiciones del problema.

!Errores comunes

  • Ley de signos: al pasar un término al otro lado cambia su signo (−3y pasa como +3y).
  • Amplificar la ecuación: si multiplicas por un número, multiplica todos los términos, incluido el independiente.
  • No comprobar: reemplaza siempre la solución en las dos ecuaciones originales.
  • Confundir las incógnitas: en los problemas, define primero qué representa x y qué representa y.

Videos explicativos

Un video por cada método de solución. Búscalo por el nombre del método o por lo que quieres hacer: «eliminar una incógnita», «despejar», «matriz»…

🔎Encuentra tu video

🔎

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🧭¿Cuál método me conviene?

Los cuatro métodos llegan a la misma solución. Mira cómo está escrito tu sistema y elige:

Una incógnita ya está despejaday = 2x − 3 ; 3x + y = 12
Es fácil despejar la misma letra en las dosx + 2y = 8 ; x − y = 2
Los coeficientes son enteros y cómodos de multiplicar2x + 3y = 8 ; 3x − y = 1
Quieres un procedimiento fijo, o saber de una vez si hay solución únicaSi |A| ≠ 0 hay una sola solución.
💡 Después de ver un video, abre el Resolutor con ese mismo método y compara tus pasos con los de la app.

Resolutor paso a paso

Escribe los coeficientes, elige un método y observa la solución completa con gráfica y comprobación.

✎Ingresa el sistema

Ecuación 1 x + y =
Ecuación 2 x + y =

Usa enteros positivos o negativos. Para un coeficiente negativo escribe, por ejemplo, −4.

Resolver por:

Banco de ejercicios

60 ejercicios en tres niveles. Intenta resolver primero en tu cuaderno, verifica y luego estudia la solución.

Test — Repositorio de preguntas

Banco de 30 preguntas de selección múltiple. La respuesta correcta y su explicación se muestran de inmediato junto a cada pregunta, como una base de datos de consulta.

· Matemáticas grado 9

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