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📚 Bienvenido a Números Racionales

Domina todas las operaciones con fracciones: suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Aprende con ejemplos, practica con ejercicios y evalúate al estilo ICFES.

5
Operaciones
100
Ejercicios
30
Preguntas ICFES
∞
Práctica
🌟 ¡La constancia es la clave del éxito matemático! Cada ejercicio que resuelvas te hace más fuerte.
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¿Qué es un número racional?

Conceptos fundamentales

Definición

Un número racional es todo número que puede expresarse como una fracción pq donde p y q son números enteros y q ≠ 0.

Ejemplos de números racionales

  • Fracciones propias: 1/2, 3/4, 2/7
  • Fracciones impropias: 5/3, 9/4, 11/7
  • Enteros: 3 = 3/1, −5 = −5/1
  • Decimales exactos: 0.25 = 1/4, 0.6 = 3/5
  • Decimales periódicos: 0.333… = 1/3

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad: 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8. Se obtienen multiplicando o dividiendo numerador y denominador por el mismo número.

Simplificación (forma irreducible)

Una fracción está en su forma irreducible cuando el MCD(numerador, denominador) = 1. Ejemplo: 6/8 → MCD(6,8) = 2 → 3/4

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Tu recorrido de aprendizaje

Sigue este orden para mejores resultados

➕
1. Suma
5 ejemplos · 20 ejercicios
➖
2. Resta
5 ejemplos · 20 ejercicios
✖️
3. Multiplicación
5 ejemplos · 20 ejercicios
➗
4. División
5 ejemplos · 20 ejercicios
🔢
5. Potenciación
5 ejemplos · 20 ejercicios
➕

Suma de números racionales

Teoría, ejemplos y ejercicios

Regla general

Para sumar fracciones se deben tener en cuenta dos casos:

  • Mismo denominador: Se suman los numeradores y se conserva el denominador.
  • Diferente denominador: Se calcula el MCM (Mínimo Común Múltiplo) de los denominadores, se convierten las fracciones a fracciones equivalentes con ese denominador y se suman los numeradores.
\[\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} \qquad \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}\]

Casos especiales

  • Sumar entero y fracción: El entero se convierte en fracción con denominador 1. Ej: 3 + 1/4 = 12/4 + 1/4 = 13/4
  • Fracciones negativas: Se aplican las reglas de suma de enteros para los signos. Ej: −1/3 + 1/3 = 0
  • Resultado simplificable: Siempre simplificar al máximo usando el MCD.
  • Números mixtos: Convertir a fracción impropia antes de sumar.

¿Cómo hallar el MCM?

El MCM se puede hallar por descomposición en factores primos, tomando los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. Por ejemplo: MCM(4, 6) = 12 porque 4 = 2² y 6 = 2·3, entonces MCM = 2²·3 = 12.

1/4 + 2/4 = ?

  • 1Observamos que los denominadores son iguales: ambos son 4.
  • 2Sumamos los numeradores: 1 + 2 = 3
  • 3Conservamos el denominador: 4
  • 4Resultado: 3/4 — verificamos que ya está en forma irreducible (MCD(3,4)=1) ✓
✅ Resultado: 3/4

1/3 + 1/4 = ?

  • 1Los denominadores son diferentes: 3 y 4.
  • 2Calculamos MCM(3, 4): 3 = 3¹, 4 = 2² → MCM = 12
  • 3Convertimos: 1/3 = 4/12 (multiplicamos por 4/4), y 1/4 = 3/12 (multiplicamos por 3/3)
  • 4Sumamos: 4/12 + 3/12 = 7/12
  • 5MCD(7,12) = 1 → ya está simplificada ✓
✅ Resultado: 7/12

2/5 + 3/10 = ?

  • 1Denominadores: 5 y 10. MCM(5, 10) = 10
  • 22/5 = 4/10 (multiplicamos por 2/2)
  • 33/10 ya tiene denominador 10, no cambia.
  • 4Sumamos: 4/10 + 3/10 = 7/10
  • 5MCD(7,10) = 1 → forma irreducible ✓
✅ Resultado: 7/10

−3/8 + 5/6 = ?

  • 1Denominadores: 8 y 6. 8 = 2³, 6 = 2·3 → MCM = 24
  • 2−3/8 = −9/24 (×3/3); 5/6 = 20/24 (×4/4)
  • 3Sumamos: −9/24 + 20/24 = 11/24
  • 4MCD(11,24) = 1 ✓
✅ Resultado: 11/24

2⅓ + 1¾ = ? (Números mixtos)

  • 1Convertir a fracciones impropias: 2⅓ = 7/3 (2×3+1=7) y 1¾ = 7/4 (1×4+3=7)
  • 2MCM(3, 4) = 12
  • 37/3 = 28/12 y 7/4 = 21/12
  • 428/12 + 21/12 = 49/12
  • 5Como fracción mixta: 49 ÷ 12 = 4 con resto 1 → 4 y 1/12
✅ Resultado: 49/12 = 4 y 1/12

Resuelve cada ejercicio y luego haz clic en "Ver solución" para ver el procedimiento completo.

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Resta de números racionales

Teoría, ejemplos y ejercicios

Regla general

La resta de fracciones sigue el mismo proceso que la suma, pero restando los numeradores:

  • Mismo denominador: a/b − c/b = (a−c)/b
  • Diferente denominador: Hallar MCM, convertir fracciones equivalentes, luego restar numeradores.
\[\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b} \qquad \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}\]

Casos especiales

  • Resultado negativo: Es completamente válido. Ej: 1/4 − 3/4 = −2/4 = −1/2
  • Restar un número negativo: "menos negativo" se convierte en suma. Ej: 1/3 − (−2/3) = 1/3 + 2/3 = 1
  • Propiedad: La resta NO es conmutativa: a/b − c/d ≠ c/d − a/b (en general)

5/6 − 1/6 = ?

  • 1Denominadores iguales: 6
  • 2Restamos numeradores: 5 − 1 = 4
  • 3Resultado: 4/6. MCD(4,6) = 2 → simplificamos: 2/3
✅ Resultado: 2/3

3/4 − 2/3 = ?

  • 1MCM(4,3) = 12
  • 23/4 = 9/12; 2/3 = 8/12
  • 39/12 − 8/12 = 1/12
✅ Resultado: 1/12

1/2 − 3/4 = ?

  • 1MCM(2,4) = 4
  • 21/2 = 2/4; la otra fracción ya tiene denominador 4.
  • 32/4 − 3/4 = −1/4 (resultado negativo, es válido)
✅ Resultado: −1/4

7/8 − (−1/4) = ?

  • 1Restar negativo = sumar: 7/8 + 1/4
  • 2MCM(8,4) = 8; 1/4 = 2/8
  • 37/8 + 2/8 = 9/8
✅ Resultado: 9/8 = 1 y 1/8

3⅕ − 1⅔ = ?

  • 13⅕ = 16/5 (3×5+1=16); 1⅔ = 5/3 (1×3+2=5)
  • 2MCM(5,3) = 15; 16/5 = 48/15; 5/3 = 25/15
  • 348/15 − 25/15 = 23/15
  • 423÷15 = 1 resto 8 → 1 y 8/15
✅ Resultado: 23/15 = 1 y 8/15

Practica los 20 ejercicios de resta. ¡No te rindas!

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Multiplicación de racionales

Teoría, ejemplos y ejercicios

Regla

Para multiplicar fracciones se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí. No se requiere denominador común.

\[\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\]

Simplificación cruzada (método abreviado)

Antes de multiplicar se puede simplificar un numerador con el denominador del otro para facilitar los cálculos. Ej: (4/9)×(3/8) → simplificamos 4 y 8 entre 4, y 3 y 9 entre 3: (1/3)×(1/2) = 1/6

Regla de signos

  • (+) × (+) = (+)
  • (−) × (−) = (+)
  • (+) × (−) = (−)
  • (−) × (+) = (−)

2/3 × 3/5 = ?

  • 1Multiplicar numeradores: 2 × 3 = 6
  • 2Multiplicar denominadores: 3 × 5 = 15
  • 3Resultado: 6/15. MCD(6,15)=3 → simplificamos: 2/5
✅ Resultado: 2/5

4/9 × 3/8 = ? (simplificación cruzada)

  • 1Simplificamos cruzado: 4 y 8 → divido por 4 → 1/2; 3 y 9 → divido por 3 → 1/3
  • 2Queda: (1×1)/(3×2) = 1/6
✅ Resultado: 1/6

(−3/7) × (−14/9) = ?

  • 1Signos: (−)×(−) = (+)
  • 2Simplificamos: 3 y 9 → /3; 14 y 7 → /7 → queda (1×2)/(1×3) = 2/3
  • 3Resultado positivo: 2/3
✅ Resultado: 2/3

5 × 3/7 = ?

  • 1Convertimos 5 = 5/1
  • 2(5/1) × (3/7) = 15/7
✅ Resultado: 15/7 = 2 y 1/7

1½ × 2⅔ = ? (mixtos)

  • 11½ = 3/2; 2⅔ = 8/3
  • 2(3/2) × (8/3): simplificamos 3 y 3 → (1/2) × (8/1) = 8/2 = 4
✅ Resultado: 4
➗

División de números racionales

Teoría, ejemplos y ejercicios

Regla del recíproco (fracción inversa)

Para dividir fracciones, se multiplica la primera por el recíproco (inverso) de la segunda. El recíproco de a/b es b/a.

\[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}\]

Casos especiales

  • División por cero: ¡IMPOSIBLE! Nunca se puede dividir por cero. Si c/d donde d=0 o c=0: error si c=0.
  • Dividir por entero: 3/5 ÷ 4 = 3/5 × 1/4 = 3/20
  • Recíproco de entero: recíproco de 5 = 1/5
  • Negativo: Si la operación da negativo, aplicar regla de signos.

2/3 ÷ 4/5 = ?

  • 1Recíproco de 4/5 = 5/4
  • 2Multiplicamos: (2/3) × (5/4) = 10/12
  • 3MCD(10,12)=2 → simplificamos: 5/6
✅ Resultado: 5/6

7/8 ÷ 7/4 = ?

  • 1Recíproco de 7/4 = 4/7
  • 2(7/8) × (4/7): simplificamos 7 y 7 → (1×4)/(8×1) = 4/8
  • 34/8 = 1/2
✅ Resultado: 1/2

(−5/6) ÷ (2/3) = ?

  • 1Recíproco de 2/3 = 3/2
  • 2(−5/6) × (3/2) = −15/12
  • 3MCD(15,12)=3 → −15/12 = −5/4
✅ Resultado: −5/4 = −1 y 1/4

9/10 ÷ 3 = ?

  • 13 = 3/1; recíproco = 1/3
  • 2(9/10) × (1/3) = 9/30
  • 3MCD(9,30)=3 → 9/30 = 3/10
✅ Resultado: 3/10

2¼ ÷ 1½ = ?

  • 12¼ = 9/4; 1½ = 3/2
  • 2Recíproco de 3/2 = 2/3
  • 3(9/4) × (2/3): simplificamos 9 y 3 → 3; y 2 y 4 → (3×1)/(2×1) = 3/2
✅ Resultado: 3/2 = 1 y 1/2
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Potenciación de racionales

Teoría, ejemplos y ejercicios

Definición

Elevar una fracción a una potencia significa multiplicarla por sí misma tantas veces como indica el exponente.

\[\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\]

Propiedades

  • Exponente 0: Cualquier número (distinto de 0) elevado a 0 = 1. Ej: (3/5)⁰ = 1
  • Exponente 1: (a/b)¹ = a/b (no cambia)
  • Exponente negativo: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ (se invierte la fracción)
  • Base negativa con exponente par: resultado positivo. Ej: (−2/3)² = 4/9
  • Base negativa con exponente impar: resultado negativo. Ej: (−2/3)³ = −8/27

(2/3)² = ?

  • 1Elevar numerador: 2² = 4
  • 2Elevar denominador: 3² = 9
  • 3Resultado: 4/9
✅ Resultado: 4/9

(−3/4)³ = ?

  • 1Base negativa, exponente impar → resultado negativo
  • 2(−3)³ = −27; 4³ = 64
  • 3Resultado: −27/64
✅ Resultado: −27/64

(2/5)⁻² = ?

  • 1Exponente negativo: invertimos la fracción → (5/2)²
  • 25² = 25; 2² = 4
  • 3Resultado: 25/4
✅ Resultado: 25/4 = 6 y 1/4

(1/2)⁴ = ?

  • 11⁴ = 1; 2⁴ = 16
  • 2Resultado: 1/16
✅ Resultado: 1/16

(−1/3)⁴ = ?

  • 1Base negativa, exponente par → resultado positivo
  • 21⁴ = 1; 3⁴ = 81
  • 3Resultado: +1/81
✅ Resultado: 1/81
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